A brief note on discrete Fourier transformation

信号の周期的な構造を調べるためには一般にフーリエ変換による解析が用いられます. 一方で, 測定されたデータは連続関数ではなく離散的なデータ列として与えられることが多々あります. こうしたデータに対しては離散フーリエ変換 (Discrete Fourier Transformation) を用いて周期解析がなされます. ここでは離散フーリエ変換の基本と結果の解釈の仕方について簡潔にまとめます.

離散フーリエ変換

\(N\) 個のデータ列からなる観測量 \(\{x_i\}_{i=1,\ldots,N-1}\) の離散フーリエ変換および逆変換は以下のように定義されます.

\[ \xi_n = \sum_{k=0}^{N-1} x_k {\rm e}^{-i2\pi\frac{nk}{N}}, \quad x_n = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \xi_k {\rm e}^{i2\pi\frac{nk}{N}}, \]

ただし \(i\) は虚数単位を表します. 仮に \(\xi_m\) のみが non-zero であるような信号を逆変換すると以下のようになります.

\[ x_n = \frac{1}{N} \xi_m {\rm e}^{i2\pi\frac{m}{N}n}. \]

フーリエ成分の \(m\) 番目の成分は波数 \(2\pi\frac{m}{N}\), あるいは周波数 \(\frac{m}{N}\) に対応しているとみなせます. ただし, ここで定義した波数・周波数はデータ番号 \(n\) に対するものであり物理的な単位ではないことに注意してください.

\(m > N/2\) のときは \(m = N - m'\) とおくと,

\[ {\rm e}^{i2\pi\frac{m}{N}} = {\rm e}^{i2\pi\frac{N-m'}{N}} = {\rm e}^{i2\pi\frac{m'}{N}}, \]

となるため, フーリエ成分において実効的に最も高い周波数は \(1/2\) を超えません. そのため, 離散フーリエ変換によって得られたフーリエ成分を順番に並べると, 対応する周波数を以下のよう書き換えることができます (\(N\) が偶数の場合).

\[ \begin{aligned} f &= \left\{ 0,\,\frac{1}{N},\,\frac{2}{N},\ldots,\,\frac{N-1}{N} \right\} \\ &= \left\{ 0,\,\frac{1}{N},\,\frac{2}{N},\,\ldots,\,\frac{N/2}{N}, \,\frac{-N/2+1}{N},\,\ldots,\,\frac{-2}{N},\,\frac{-1}{N} \right\}. \end{aligned} \]

index と物理単位の対応付け

与えられたデータ列が一定の時間間隔 \(\delta t\) で取得されたデータであるとします. \(x_0\) を取得した時間を \(t=0\) とすると \(x_m\) は時刻 \(t=m\delta t\) において計測した値になります. 全データ数は \(N\) なので計測した時間スパンは \(N\delta t\) です.

\(n=0\) のフーリエ成分は定常成分に相当しており波長 \(\infty\) に対応します. \(n=1\) のフーリエ成分はデータ列において最も長周期の成分に相当します. 定常成分と直交しなければならないという条件から, \(n=1\) の成分は波長 \(N\delta t\) の成分に相当することが分かります. このような対応付けから, \(\xi_m\) は波長 \(N\delta t/m\) の成分に対応することがわかります. フーリエ成分において最も高周波な成分は波長 \(2\delta t\) に対応しています.¹

パワースペクトル

信号を周波数成分に分解したときの強度をパワースペクトル密度と呼びます. これはフーリエ変換成分の絶対値の 2 乗を計算することによって得られます. 連続関数の場合は以下のように定義されます.

\[ P(\omega) = \left| \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x(t) {\rm e}^{-i\omega t}{\rm d}t \right|^2 = \frac{\xi(\omega)\xi^\dagger(\omega)}{2\pi}. \]

また, この値は信号 \(x(t)\) の自己相関関数 \(R(\tau)\) のフーリエ変換としても与えられます. 測定によって得られる信号は離散的かつ限定された長さしか持ちません. \(\delta t\) 間隔で \(N\) 回サンプリングされたデータについてのパワースペクトルは以下の式で定義されます.

\[ P_n = \frac{2\pi \delta t}{N}\left| \sum_{k=0}^{N-1}x_k{\rm e}^{i2\pi nk}\right|^2 \]

この周波数はいわゆるサンプリング定理によって与えられる周波数限界と等しい. ↩

Last update: September 5, 2022